L'actrice, qui a brillé au cinéma et au théâtre, a joué le rôle principal dans le film d'Iossif Kheïfits "La Dame au petit chien" illustrant le déchaînement des passions dans une ambiance presque minimaliste.

Ce film, tourné à l'époque du dégel survenue après les répressions staliniennes, a connu un immense succès en URSS, et l'actrice a gagné le prix d'interprétation féminine au festival de Cannes en 1960.

Elle a également interprété au cinéma Dolly, une terne femme au foyer dans l'adaptation d'"Anna Karénine" de Tolstoï, où Tatiana Samoïlova, une autre star du cinéma soviétique, joue le rôle principal.

"La Vie privée", un film avec Ia Savvina réalisé par Iouli Raïzman et sorti en 1982, fut nommé à l’Oscar du meilleur film en langue étrangère.

En 1967, Ia Savvina a tourné dans "Le Bonheur d’Assia" du cinéaste russe Andreï Kontchalovski, qui fut censuré par les autorités soviétiques et fut diffusé vingt ans plus tard en Occident. Les autorités soviétiques n'avaient pas apprécié l'image donnée par le film de la misère paysanne, qui ne correspondait pas à la propagande des kolkhozes.

Tous les enfants de l'URSS connaissaient la voix de l'actrice, qu'elle avait prêtée au porcelet dans la version russe du dessin animé "Winnie l'Ourson".

Dans une interview au magazine Sobessednik en février, Ia Savvina avait avoué qu'elle avait parodié la voix de sa poétesse préférée, Bella Akhmadoulina, en l'accélérant un peu, tout en assurant que cette dernière n'avait pas été vexée.

Le président russe Dmitri Medvedev a rendu hommage à une "belle âme" et à une "personnalité brillante", et il a salué le talent "dramatique extraordinaire" de l'actrice.

Le Premier ministre Vladimir Poutine a estimé que le décès d'Ia Savvina était "une perte énorme pour la culture russe".